L'ATTRATTORE DI HENON
Prima di tutto cos'è un attrattore?Per attrattore s'intende una forza verso la quale è attratto o tende a stabilizzarsi un sistema. L'attrattore più semplice è quello ad un punto, un esempio è quello di un pendolo. Se noi vogliamo rappresentare su di un piano il comportamento dinamico di un pendolo, dobbiamo usare due coordinate, una per la velocità angolare e l'altra per la posizione nel tempo, otteniamo in questo modo una rappresentazione dello spazio degli stati. Dato che il pendolo è soggetto ad attrito ed alla forza di gravità, qualunque sia l'angolo o la velocità iniziale, lentamente sia la velocità sia l'angolo torneranno a zero. In questo modo la rappresentazione sul piano assumerà la forma di una spirale. Naturalmente se il nostro pendolo non fosse soggetto all'attrito ed alla gravità, la rappresentazione assumerebbe la forma di un cerchio.  Ora arriviamo all'attrattore di Henon, un astronomo francese con una forte passione per la matematica con cui cercava di risolvere problemi pratici; in particolare cercava di capire la dinamica dei sistemi globulari, che sono ammassi molto densi di stelle. Cercare di risolvere il problema delle orbite di due corpi celesti vicini è abbastaza facile, se sono tre è quasi impossibile prevederne il comportamento a lungo termine, se sono migliaia diventa un caos. Con un suo allievo Henon, nel 1962, riuscì a realizzare un sistema per visualizzare una sezione trasversale delle orbite di corpi celesti soggetti a diversi gradi di energia, poichè l'attrattore in una galassia non è un punto come può esserlo quello in un pendolo, ma migliaia, tanto da formare una specie di disco tridimensionale, in questo modo le stelle sono soggette a forze con diversi gradi di energia, perciò ci sono stelle la cui rappresentazione dinamica assume un andamento stabile e prende la forma di un uovo, altre che hanno diversi livelli di energia hanno un andamento misto, per alcuni tratti sono caotici, altri stabili, la loro rappresentazione è un miscuglio di curve e un caos di punti. Quattordici anni più tardi, dopo aver seguito una conferenza sull'attrattore di Lorenz, un meteorologo che aveva realizzato il primo attrattore strano, strano perchè mostrava con una rappresentazione degli stati delle fasi tridimensionali il comportamento di un fluido quando viene riscaldato e raffreddato; La cosa notevole che si vedeva in questa rappresentazione era il formarsi di una linea che formava due spirali che non s'intersecavano mai, praticamente una linea infinita in uno spazio finito. Henon decise di studiare cosa c'era dietro il comportamento di un attrattore strano, alla fine scoprì che tutto dipendeva dal piegamento e dallo stiramento dello spazio delle fasi. Per capire meglio, immagina di disegnare un'ellisse su sfoglia di pasta, poi la pieghi a metà, la giri da una parte, poi la spiani ancora col mattarello, se ripeti questa operazione per qualche migliaia di volte, vedrai formarsi un disegno a forma di banana, a prima vista le righe del disegno sembrano spesse ma singole, ma se guardi bene vedi che ogni riga è formata da due righe molto vicine, se ingrandisci un po' le due righe diventano quattro due vicine e due un po' più lontane, aumentando l'ingrandimento, e il numero dei piegamenti e stiramenti, il tutto si ripete all'infinito, la riga che sembrava singola si raddoppia, poi diventa una doppia coppia, anche qui abbiamo una cosa strana, la riga che si forma non è continua, ma è formata da punti che si distribuiscono a caso ad ogni trasformazione, ma che alla fine ripetono sempre lo stesso motivo. Henon ha trovato una formula molto semplice per ottenere questo risultato; eccola, basta ripeterla migliaia di volte. (nuova X = y+ 1 - 1.4*X*X) - (nuova y = 0.3*X) con X e y reali. |
Come vedi dall'immagine qui sotto, che mostra un attrattore di Henon, ho ricavato tre ingrandimenti che mostrano quanto hai appena letto, prima una riga, poi due, infine ancora due coppie.  |
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