Ipercubo

L' applet mostra sulla superfice bidimensionale di un monitor un oggetto quadrimensionale come l'ipercubo.

Per aprire e richudere l'ipercubo clicca sull'immagine con il tasto destro del mouse

Per una visione ideale di questa pagina servono gli occhialini che hanno una lente rossa e una verde, perchè permettono una visione stereo delle immagini.

L'ipercubo o (tesseratto) di questa pagina è la proiezione grafica di un cubo quadrimensionale nello spazio bidimesionale.
L'ipercubo è formato da 8 cubi.
1 cubo centrale circondato da 1 cubo su ognuna delle sue 6 facce facce, ottavo è formato dal contenitore dei 7 cubi.

Quando guardiamo un cubo disegnato su un foglio, in realtà stiamo vedendo la proiezione bidimensionale di un cubo, una sua prospettiva.

Lo stesso vale per l'ipercubo, partendo dalla proiezione di un cubo, viene realizzata una seconda proiezione, praticamente il nostro ipercubo è formato dalla doppia proiezione delle 6 facce di un cubo, questo è il solo modo di vedere un oggetto quadrimensionale, in un mondo tridimensionale.

Il tronco di cono sopra il cubo rosso è la proiezione della proiezione di una faccia di un ipercubo .

Nelle altre immagini si vedono alcuni spostamenti della proiezione del cubo rosso

Vedere la proiezione di una faccia è abbastanza semplice, vedere tutte insieme le proiezione delle 6 facce del cubo è un pò più difficoltoso.

Nelle immagini qui sotto puoi vedere, partendo da sinistra, le proiezioni di 2, poi 3, 4 e 6 facce, le ultime 2 immagini a destra rappresentano una proiezione laterale delle 6 facce del cubo,
Come vedi è quasi impossibile distinguere tutti i singoli cubi.

Il numero di dimensioni che con cui normalmente abbiamo a che fare, se non contiamo quellaZERODIMENSIONALE vale a dire il punto, sono tre.

Quella UNIDIMENSIONALE come la linea

QuellaBIDIMENSIONALE come il quadrato, o il cerchio.

Quella TRIDIMENSIONALE come il cubo, la sfera o la piramide.

Naturalmente con Einstein abbiamo aggiunto la dimensione temporale alle 3 spaziali.
L'introduzione dello spazio-tempo è una conseguenza diretta della teoria della relatività ristretta che stabilisce un'equivalenza fra lo spazio e il tempo.

Anche noi possiamo fare esperienza della dimensione temporale senza scomodare la relatività ristretta.
Se ad esempio diciamo ad un amico di trovarsi in un palazzo all'ottavo piano di via x, numero y, alle ore 8, gli abbiamo fornito in questo modo, 3 coordinate spaziali, (1)la via, (2) il numero, (3) il piano del palazzo, che gli consentono di trovare il luogo dell'appuntamento e infine una coordinata temporale (4)l'ora, senza la quale sarebbe difficile incontrarsi.

Per chi vive come noi in un mondo tridimensionale, ripiegare una figura piana come quella qui sotto a sinistra formata da 6 quadrati, per trasformarla in un cubo è un problema che riesce a risolvere anche un bambino,

La cosa diventa impossibile per chi vive in un mondo piatto bidimensionale dove non esiste la coordinata verticale, la stessa difficoltà l'abbiamo anche a noi quando tentiamo di piegare i 6 cubi dell'immagine a destra per formare un ipercubo.

Non abbiamo la minima idea di come si possano piegare i 6 cubi senza deformarli, ecco perchè il solo modo che abbiamo di vedere l'ipercubo è immaginare delle viste in prospettiva di 6 cubi che escono dal cubo centrale, così facendo però i 6 cubi ci appaiono come tronchi di piramide a base quadrata, solo il cubo centrale non subisce una deformazione, mentre l'ottavo cubo possiamo solo immaginarlo come il contenitore dei 7 cubi.



Un modo per rendersi conto del problema che si pone quando cerchiamo di passare a una dimensione superiore a quella in cui siamo legati è quello di immaginare cosa succederebbe se noi vivessimo in un mondo a 2 dimensioni spaziali e qualcuno tentasse di spiegarci come si vive nella terza dimensione, una tale situazione è descritta in modo efficace nel libro di Edwin Abbot, teologo 1838-1928,
("Flatlandia " ed. Bollati Boringhieri 2008.
Questa edizione contiene anche un filmato su DVD veramente interessante)
Ambientato in un mondo completamente piatto, dove gli abitanti, naturalmente piatti, non hanno nessuna esperienza della dimensione verticale, un abitante un giorno rice la visita di un essere superiore impersonificato da una sfera.

Naturalmente lui non può vederla tutta intera, dato che può guardare solo davanti o dietro, a destra e sinistra, ma non in alto e in basso.

Quando la sfera si posa su Flatlandia, all'inizio lui vede solo un punto, poi quando inizia a penetrare nel piano comincia a vedere dei cerchi che si allargano sempre di più fino a raggiungere un diametro massimo, quando la sfera è penetrata per metà nel pianeta, poi i cerchi tornano a restringersi fino a ridiventare un punto e poi scomparire, allorchè ha attraversato completamente il piano e naturalmente per lui la vista all'interno della sfera è inacessibile.

Al contrario la sfera può vedere tutto di questo mondo piatto, da sopra lei vede l'interno delle loro stanze, delle loro casseforti dei loro armadi etc.

Per l'abitante di questo mondo, la sfera è un essere superiore, al quale non si può nascondere nulla, lei può chinarsi e prendere ciò che vuole, può passare da una stanza all'altra, può vedere tutti i suoi spostamenti, in pratica è come un dio che vede e può fare tutto quello che a lui non è permesso.
Ad un certo punto la sfera lo porta nella terza dimensione mostrandogli cose meravigliose e inimaginabili, quando però torna nel suo mondo e racconta ciò che ha visto nesssuno gli crede e lo mettono in prigione... mi fermo qui perchè vi lascio il piacere di scoprire come finisce.
E' un bel libro, ve lo consiglio, vi aiuta ad entrare nell'ottica giusta per capire come muoversi in dimensioni diverse dalla nostra,


Un altro libro interessante, ricco di illustrazioni è quello di Thomas F. Banchoff, prof. di math. alla Browun University
("Oltre la terza dimensione" ed. Zanichellighieri 1997)

Per molti fisici ormai il mondo a 4 dimensioni di Einstein è diventato stretto, per loro il modello che descrive la realtà fisica è quello delle stringhe, secondo questa teoria le particelle subatomiche, (elettroni, protoni etc) sarebbero in realtà delle manifestazioni di microscopici fili (stringhe) in perenne vibrazione, questo modello sostuitirebbe il continuo spazio-temporale a 4 dimensioni, con uno a 10, 11, 26 dimensioni.

Magari una risposta definitiva potrebbero darla le ricerche in corso al CERN di Ginevra sulla struttura della materia.

Naturalmente per i matematici le dimensioni non sono solo quelle fisiche e che per possono essere moltissime, anzi Hilbert ha detto che possono essere infinite.

Infine abbiamo le dimensioni frazionarie, come quella del triangolo di Sierpinski che è Ln 3/Ln 2 = 1.58 oppure quella della curva di Koch, che è 1,262 nate con l'avvento dei frattali.