RADDOPPIO DEL PERIODO PER LA LEGGE DINAMICA DI VERHULST
| Robert May, laureato in fisica teorica, ma passato alla
biologia, ha utilizzato una versione dell'equazione logistica alle
differenze finite, del belga Verhulst, per simulare il
comportamento di una popolazione di pesci, in un modo abbastanza
simile alla realtà. Immaginiamo d'avere una popolazione di 100 pesci in uno stagno e controlliamo cosa succede se questi pesci hanno un incremento generazionale del 10%. La generazione successiva arriverà a 110 individui, poi salirà a 121, quindi a 133,1, etc, ma questo modo di prevedere l'andamento di una popolazione è troppo semplicistico, perchè non tiene conto dei soggetti che muoiono di morte naturale e del fatto che la popolazione non può crescere all'infinito, perchè anche il cibo dovrebbe aumentare all'infinito ; a un certo punto non ci sarà più cibo sufficiente per tutti, conseguentemente la popolazione diminuirà. May però scoprì che usando questa formula matematica (X.nuovo = r*X*(1-X)) con X <1 si otteneva un risultato più realistico, perchè questa equazione metteva in relazione l'abbondanza relativa (X) dei pesci con la disponibiltà relativa (1-X) del cibo Amettiamo che i nostri 100 pesci abbiano a disposizione nel loro ecosistema 9900 larve, supponiamo poi che il peso totale dei pesci sia uguale al peso totale delle larve, perciò un ecosistema con una biomassa composta da 50% di predatori e da 50% di prede. Se dividiamo il numero delle due popolazioni per il numero totale della biomassa (9900+100) abbiamo i numeri relativi all'abbondanza dei (pesci=100/10000)=0.01 e delle (larve = 9900/10000)= 0,99. In questo modo dopo alcune generazioni, l'abbondanza X dei pesci sarà proporzionale all'abbondanza relativa delle larve, cioè x*(1-x). A questo punto aggiungiamo una costante di proporzionalità (r) che rappresenta il tasso di crescita dei nostri pesci e la formula diventa X= r*X*(1-X) Il valore massimo del tasso di crescita (r) è 4, questo perchè la somma dei numeri relativi di pesci e larve (0.01 + 0,99 = 1 ), perciò la (X) dovrà essere sempre inferiore < 1 e poichè, 1/2 biomassa è fatta di pesci e 1/2 di larve, abbiamo un prodotto di(0,5 * 0,5= 0.25 )ecco perchè il tasso di fecondità(r) deve avere un valore massimo di 4 dato che( 4 * 0.25 = 1). Dato che (X) può assumere 1 come valore massimo, la formula richiede uno sviluppo frazionario. Vediamo con un esempio di capire cosa succede ai nostri pesci usando questa formula. Nota Con un tasso di fecondità (r = 1) la popolazione si estingue rapidamente, come logico se da una coppia di pesci si ha un solo pesciolino ogni generazione si dimezza e in poco tempo si estingue. Ammettiamo ora che la popolazione iniziale sia di 0,02 pesci e che abbia un tasso di crescita (r = 2) Come vedi la popolazione dopo alcune generazioni si stabilizza su 0,5 ossia metà biomassa è fatta di pesci. 
Con un tasso( r = 3)  Il risultato dopo alcune generazioni si stabilizzerà attorno a due valori 0,631 e 0,699 vale a dire la biomassa dei pesci si alternerà su questi due valori. Con un incremento ( r = 3,5) si ha questo grafico.  Come potete vedere la popolazione dei pesci si stabilizza su 4 livelli diversi, Aumentando ancora un poco il valore di (r = 3,56 ) la popolazione si stabilizzerà su 8 valori, incrementando ulteriormente di pochissimo (r) ci saranno 16 valori stabili, poi 32, 64, 128 etc. ad ogni piccolo incremento di (r) si ha un raddoppio dei periodi stabili. Improvvisamente quando (r) arriva a un valore di 3,56994571869 ha inizio il caos, la popolazione a ogni generazione cambia di numero in un modo completamente casuale, niente più periodi stabili. Poi aumentando ulteriormente il valore di (r) ritornano dei brevi periodi di stabilità, prima con periodi pari 8, 10,16, poi aumentando ancora (r) avremo periodi dispari, 3 ,5,11,con relativi raddoppi del periodo. Alcuni di questi periodi stabili, sono molto brevi eppure hanno anche loro con il proprio raddopio,ecco perchè si chiama raddoppio del periodo. quello che colpisce è la loro improvvisa comparsa e scomparsa in mezzo al caos.  L'immagine qui sopra, rappresenta il nostro sistema attraverso lo spazio delle fasi Si parte con un valore dell'incremento generazionale (r) pari a 2,5 -- a ogni incremento di (r) la curva si sposta a destra, perciò il punto seguente della curva corrisponde a r = 2,51 etc. -- la popolazione aumenta senza grandi sobbalzi fino a quando giunge a un livello di (r) pari a 3; a questo punto la popolazione comincia a variare su due valori, una generazione aumenta, quella seguente diminuisce, il che corrisponde ai 2 valori stabili, visti nel grafico sopra, ecco perciò che la curva si divide e forma una specie di Y sdraiata . I due bracci della Y continuano finchè (r) raggiunge il valore di 3,5, a questo momento le due linee del delta si dividono a loro volta e diventano 4(i 4 valori stabili). Aumentando ancora il tasso di crescita (r) a 3,54 i bracci si raddoppiano e diventano 8 (d'ora in poi, dato che la distanza tra un periodo e l'altro diventa sempre più piccola, sarà difficile distinguere bene i particolari). Continuando con r= 3,565 diventano 16; aumentando ulteriormente diventano 32; infine arriva il caos. Se scaricate il programma chi si trova nella pagina iniziale di Mandelbrot potrete divertirvi a cercare i punti iniziali del raddoppiamento dei periodi. Vi segnalo i punti più visibili. A un valore di (r) pari a 3,703 c'è un periodo 7; a un valore di (r)= 3,739 inizia un periodo 5, seguito subito dopo da un altro periodo 7. Quindi con (r)= 3,828 inizia un periodo 3 abbastanza lungo se confrontato con i precedenti periodi dispari. Nella pagina seguente c'è un applet con cui interagire e apprezzare meglio quello che avete appena letto. Come vedi dall'immagine qui sotto, che mostra un piccolo ampliamento della precedente, ho fatto una piccola cornice bianca attorno al punto centrale del periodo 3, poi ho ricavato un ingrandimento che mostra come sia del tutto simile all'immagine iniziale.   Questa a lato è l'ingrandimento del qudratino bianco, risulta stirato orrizontalmente per evidenziare meglio i dettagli.Infine l'ultimo ingrandimento dell'immagine mostra i brevi periodi di stabilità 7 e 5; non si vedono bene i loro raddoppi perchè servirebbe un forte ingrandimento per notarli.  Riferimenti bibliografici. LE SCIENZE SETTEMBRE 1987 LE SCIENZE NOVEMBRE 2005 CAOS La nascita di una nuova scienza, di James Gleick ed.Sansoni LA BELLEZZA DEI FRATTALI, di H.O. Peitgen P.H.Richter ed. Bollati Boringhieri La QUADRATURA DEL CERCHIO di A. K. Dewdney ed. Apogeo Per l'algoritmo usato per realizzare le immagini ho attinto da:- GRAFICA MATEMATICA CON IL PERSONAL COMPUTER di Attilio Comi ed. Mc Gram Hill |
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