Poligoni regolari
Come trovare:
- L'area, il perimetro, il numero fisso, il lato, il numero fisso del lato e l'apotema di un poligono regolare, conoscendo anche solo il raggio.
Qui a sinistra puoi vedere un poligono regolare, in questo caso è un esagono.
Il raggio
del poligono è colorato di bianco.
l'apotema
è in giallo.
I lati
in blu.
L'arco del cerchio che delimita un lato
in rosso.
|
|
Lato |
| Pigreco è calcolato |
Raggio = 200 |
Perimetro |
Apotema |
Pigreco
|
L'area del poligono.
Vediamo la prima formula per l'area del poligono regolare, è la più facile perchè fa uso del
numero fisso.
numero dei lati, per un numero fisso, per lato al
quadrato, diviso 2.
Ecco alcuni numeri fissi per questa formula
(0,695 per 5 lati)
(0,866 per 6 lati)
(1,038 per 7 lati) (1,307 per 8 lati) (1,540 per 10 lati).
Se il nostro esagono ha un lato di 100 mm. usiamo la formula
6 * 0,866 * 100² / 2 = 25.980 mm.
fermandoci a tre decimali.
Naturalmente il numero fisso varia a seconda del poligono e della formula usata.
La formula seguente è ancora più semplice e naturalmente usa numeri fissi diversi.
Lato al quadrato per numero fisso.
In questa formula il
numero fisso vale 2,598
Usando il lato precedente abbiamo
100² * 2,598 = 25.980
Come si trova il numero fisso?
Semplicemente si calcola precedentemente
l'area del poligono che interessa, con una formula che utilizzi il valore del raggio del
cerchio che circoscrive il poligono, insieme alla funzione trigoniometrica seno,
(in seguito ne vedremo alcune,) poi si divide l'area così ottenuta in un determinato modo,
nel caso appena visto, l'area è stata divisa per la lunghezza del lato al quadrato, mentre
in quello precedente abbiamo diviso l'area, per (lato al quadrato diviso due e moltiplicato
per il N.dei lati.).
In pratica uno può crearsi il numero fisso personale, ottenuto con
una formula propria.
Un esempio personale, è la formula seguente :
Area esagono = (lato² / 10) * n.fisso
Con questa formula il numero fisso per l'esagono vale 25,98
Amettendo che si tratti di un esagono con 100mm. di lato, avremo:
10.000 /10 * 25,98 = 25.980
(in questo caso il numero fisso è 25,98 perchè è il risultato di (25.980 / (1000 )= 25,98
In pratica conoscendo in anticipo il valore dell'area che era 25.980 il valore del raggio = 100, è stato sufficiente seguire il percorso inverso della formula, dividere 25.980 per 1000 (100² /10)per ottenere il numero fisso.
Naturalmente ci sono già pronte tante formule con numeri fissi che non vale la pena, perdere tempo a realizzarne altre.
Seconda formula :
Se non conosciamo il numero fisso, possiamo usare il lato e l'apotema,in questo caso la formula è
Area esagono = l * n * ap / 2
ossia lato per numero dei lati per apotema diviso 2.
prediamo ancora il nostro esagono e controlliamo
100 * 6 * 86,602 / 2 = 25.980 mm².
Fermandoci a 3 decimali.
Come trovare l'apotema lo vedrete più avanti.
Terza formula.
Non conosciamo ne lato ne apotema ne numero fisso, ma conosciamo un pochino la trigoniometria e il raggio del poligono regolare, che è anche il raggio del cerchio in cui può essere iscritto.
In questo caso dobbiamo usare la funzione seno dell' angolo formato dai due raggi con origine nel centro del poligono e che delimitano un lato del poligono.
In questo caso i due raggi del nostro esagono formano un angolo di 60° perchè, 360° (l'angolo giro) diviso 6, (i lati dell'esagono, nota l'arco rosso che sovrasta uno dei lati e divide il cerchio in 6 parti.)
Perciò la formula è:
0,5 * n * r² * seno 360/6
Usiamo ancora 100mm. come del raggio,
0,5 * 6 * 10000 * 0.86602 = 25.980 mm².
Fermandoci a 3 decimali.
Notate che abbiamo lo stesso risultato di prima, nonostante il 100mm. siano ora riferiti al raggio, perchè nell'esagono, il raggio e il lato mantengono la medesima lunghezza.
Quarta formula
Area = 0,25 * n * l² * (coseno(180/n) / seno(180/n))
E cioè 0,25 per n. dei lati, per lunghezza del lato al quadrato, per( coseno di pigreco diviso n.lati, diviso seno di pigreco diviso n. lati)
Notate come la formula sia più concisa, chiara e comprensibile quando è espressa con i simboli matematici.
Facciamo ancora la prova col nostro esagono.
Area = 0,25 * 6 * 10000 * 1,73204 = 25.980 mm².
Sempre solo 3 decimali.
Come vedi in questo caso nonostante l'uso della trigoniometria, bisogna conoscere la lunghezza del lato del poligono regolare per ottenere il valore della superfice.
Come ottenere il valore del perimetro e di conseguenza del lato del poligono regolare, conoscendone solo il raggio.
Perimetro = 2 * n * r * seno(180/n)
2 per numero dei lati per il raggio per seno di 180/6, perciò nel nostro esagono abbiamo
perimetro = 2 * 6 * 100 * seno(30) = 600mm
Lato
Per ottenere il lato basta dividere il perimetro per il numero dei lati.
Lato = perimetro / n.lati
600 / 6 = 100mm.
Un altro modo per ottenere il valore del lato è
Lato = 2 * r * seno(180/n)
abbiamo perciò.
Lato = 2 *100 * 0,5)= 100mm.
Un terzo modo per ottenere il valore del lato
E' l'uso di appositi numeri fissi, che sono in relazione al raggio della circonferenza circoscritta, moltiplicando questi numeri per il raggio della circonferenza data si ottiene il valore del lato del poligono regolare.
Con i seguenti numeri fissi, potrai ottenere la lunghezza dei lati di 13 poligoni regolari conoscendo solamente il raggio della circonferenza.
In breve se conosci il raggio di una circonferenza, puoi ottenere immediatamente il lato del poligono inscritto.
Basta moltiplicare il raggio della circonferenza per i seguenti numeri per avere il valore del lato del poligono.
Per un poligono con |3 lati = (r*1,732), |4 lati= (r*1,414), |5 lati(r*1,175), |6 lati(r*1), |7 lati(r*0,867), |8 lati(r*0,765), |9 lati(r*0,684), |10 lati(r*0,618), |11 lati(r*0,563), |12 lati(r*0,515), |13 lati(r*0,478), |14 lati(r*0,445), |15 lati(r*0,416), |16 lati(r*0,391).
Ad esempio se hai una circonferenza di 100mm di raggio e vuoi inscrivere un poligono regolare di 6 lati(l'esagono), ti basta moltiplicare
100*1, ed avrai la misura del lato dell'esagono inscrivibile nella circonferenza.
Come abbiamo appena visto l'esagono ha lo stesso valore per raggio e lato, mentre se fosse stato un quadrato avremmo avuto (100 * 1,414 = 141,4 come valore del lato).
Come si ottiene questo numero fisso per il valore dei lati?
Numero fisso = seno (180/n)*2
Ossia seno di (180 / numero dei lati) * 2
Per l'esagono è
seno (30)*2 = 1
In questo modo puoi calcolare i numeri fissi di tutti i poligoni regolari.
Apotema
Se colleghi l'estremità di ogni lato con il centro del poligono ottieni tanti triangoli quanti sono i lati e l'apotema corrisponde all'altezza del triangolo, perciò conoscendo l'apotema e un lato del poligono regolare, hai un altro modo per ottenere perimetro e area del poligono.
Apotema = area / metà perimetro.
Oppure conoscendo l'apotema.
Area = perimetro per apotema / 2
Che equivale a base per altezza /2 di ogni triangolo del poligono.
L'apotema
Può essere visto anche come un lato di un triangolo, se guardi il disegno in alto, noti che il raggio(in bianco), rappresenta l'ipotenusa, metà lato (in blu)è un lato, l'apotema è il terzo lato(in giallo)di un triangolo, perciò per trovare un lato di un triangolo, basta estrarre la radice, del quadrato dell' ipotenusa meno il quadrato del secondo lato.
Apotema = Radice quadrata di( R² -1/2 lato del poligino,
elevato al quadrato.)
Prendendo come esempio sempre il nostro esagono di 200mm di raggio avremo
Apotema = radice quadrata di(200² - (200/2)²= 173,205)