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IL METODO DI NEWTON NEL PIANO COMPLESSO.   Queste prime 2
immagini sono un esempio dell'applicazione del metodo di Newton e
rappresentano la soluzione dell'equazionex^3 - 1 = 0 La prima immagine ha richiesto una soluzione con una precisione di almeno 10 cifre significative esatte, la seconda solo 2 cifre significative. Le immagini hanno un'estensione nel piano complesso, che va da -2 a + 2 sia per la parte reale, che per la parte immaginaria. |
L'immagine qui sotto, ha un'estensione nel piano complesso, che va da -1,1 a +1,1 sia per la parte reale, che per la parte immaginaria.  La soluzione dell' equazione ( x^3 - 1 = 0 ) nei numeri reali è semplice, vale a dire 1 * 1 * 1 = 1 La radice cubica di 1 rimane 1, ma nel piano complesso ci sono due altre soluzioni, perchè nel piano complesso abbiamo 3 radici cubiche, 4 radice quarte, 5 radici quinte, 6 radici seste etc. LA PRIMA E' -0,5 +0,866025403784439 i ovvero radice qudrata di 0,75 Che corrisponde al centro del cerchietto bianco nel quadrante superiore sinistro. Vale a dire -0,5 a sinstra del centro dell'immagine e circa + 0,866 sopra il centro dell'immagine, sempre a sinistra LA SECONDA E' -0,5 -0,866025403784439 i Che corrisponde al centro del cerchietto bianco nel quadrante inferiore sinistro. Praticamente è un punto speculare del quadrante superiore All'estrema destra, il cerchietto segna la posizione della terza soluzione, dell'equazione e cioè +1 0i Come vedi le posizioni delle tre radici formano un triangolo equilatero, con i vertici corrispondenti alle ore 11 alle ore 3 e alle ore 7. Ho realizzato l'immagine colorando i quattro quadranti del piano complesso, in quattro modi diversi. I colori di ogni pixel che forma l'immagine è determinato dalla velocità con cui il numero complesso, associato ad ogni pixel, si avvicina alla soluzione della formula, se ad esempio il numero complesso associato ad un pixel impiega 100 iterazione,per avvicinarsi alla soluzione viene colorato di viola, se ne impiega 50 viene colorato di blù etc. Naturalmente per certi numeri non bastano le iterazioni messe a disposizione del programma, in questo caso il pixel prende il colore associato al numero massimo dei cicli a disposisizione. Nell'immagine qui sotto invece per indicare la velocità con la quale il punto si avvicina alla soluzione, ho usato le tonalità che vanno dal nero al rosso luminoso, più il punto e scuro, più si è avvicinato velocemente alla soluzione dell'equazione.  I tre punti bianchi corrispondono ai tre numeri complessi visti prima, che corrispondono alla soluzione dell'equazione con una precisione di 15 cifre significative esatte, li ho colorati di bianco e occupano un diametro di tre pixel, per metterli meglio in evidenza, anche se in realtà dovrebbero essere neri. Come vedi i tre punti bianchi formano tre bacini di attrazione, dove, come in un cratere in numeri del piano, convergono verso le tre radici cubiche dell'equazione. Mentre vicino ai confini delle tre radici i numeri complessi sono talmente indecisi se passare da una radice all'altra, che utilizzano tutti i tentativi a loro disposizione e vegono perciò colorati con un rosso luminoso. Vediamo ora un'altra caratteristica delle immagini prodotte da questa formula. |
PROPRIETA' FRATTALI DELL'IMMAGINE |
 Le Coordinate del piano complesso dell'immagine a sinistra vanno da -1,1 a +1,1; sia per la parte reale del numero, che per la parte immaginaria In queste immagini viene evidenziato come l'applicazione della formula di newton al piano complesso produca immagini frattali. Se si mettono in risalto solo i confini delle tre radici cubiche, si nota che la forma, simile ad un granchio, dell'immagine principale, si replica alle varie scale d'ingrandimento. La metà sinistra dell'immagine qui sopra appare ingrandita 4 volte nell' immagine sotto  |
ALTRA PROPPRIETA' DEI CONFINI DELLE TRE RADICI |
 Questa immagine mostra la complessità dei confini delle tre radici, colorando i bacini d'attrazione delle tre radici cubiche con tre colori diversi, si evidenzia come i confini delle tre regioni abbiano un comportamento strano, invece di dividersi in tre zone distinte d'influenza, essi si aggrovigliano l'un l'altro, eppure ogni punto appartenente a una radice confina con i punti delle altre due. Nota i punti neri sul confine sono sempre a contatto con i punti gialli e viola e naturalmente viceversa. |
Questa è la pagina N.2 IL METODO DI NEWTON NEL PIANO COMPLESSO.
Vai alla pagina 3 per vedere immagini ottenunte usando radice seconda, quarta e quinta, con il metodo di Newton.
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