Come addizionare ed elevare al quadrato i numeri complessi



Partendo da sinistra gli ingrandimenti salgono a 1.500.000 ;2.700.000 e 25.000.000 volte.
mande1.500.000 mande2.700.000 mande25.000.000

Dato che il computer non è programmato per manipolare i numeri complessi, e la formula, come visto all'inizio prevede l'addizione e l'elevazione al quadrato, di questi numeri dobbiamo risolvere il problema in altro modo.

Per l'addizione non c'è problema, si sommano rispettivamente le parti immaginarie tra di loro e le parti reali tra di loro, ad esempio sommiamo i numeri
(2 +3i)+(1 +2i)= 3 +5i - altro esempio - (1 +1i)+(2 -2i)= 3 -1i


moltip.jpg (6948 bytes) Le cose sono un poco più difficili con la moltiplicazione, dico moltiplicazione, perchè elevare al quadrato un numero, significa semplicemente moltiplicarlo per sè stesso.
Qui a sinistra, con un esempio capirai facilmente come si fa.


Bisogna moltiplicare ogni parte di un numero per ogni parte dell'altro.
Come vedi +3i x +3i = +9i al quadrato, (l'accento circonflesso è sinonimo di quadrato) poi si moltiplica +3i X 2 = +6i poi 2 X +3i = +6i infine 2 X 2 = 4
adesso si somma, perciò otteniamo 4 +12i +9i al quadrato, a questo punto si applica una regola che dice : -Un numero immaginario moltiplicato per se stesso è uguale a -1 e un termine del risultato si annulla in un altro.
In pratica il numero immaginario al quadrato diventa negativo, perciò da +9i^ diventa -9i (senza esponente) infine viene sommato alla parte reale nel nostro caso il 4 che diventa perciò (-9i + 4 = -5)
Perciò il risultato il finale è -5
+12i.
Adesso che sappiamo addizionare e moltiplicare i numeri complessi, vediamo un esempio di quello che succede quando applichiamo la formula.
Proviamo la formula
Che come abbiamo visto è Z= z^2 + c

Z iniziale è sempre fisso ed è uguale a 0 +0i
Mentre in questo esempio, poniamo c = 1  +1i
Cominciamo con elevare z al quadrato, che ovviamente rimarrà uguale a 0 +0i.
0 * 0 rimane sempre 0.
Poi sommiamo Z=  0  +0i   con c=  1 +1i.
Avremo così il nuovo valore di Z.  Vale a dire Z= 1 +1i
Qui sotto ripetiamo ancora due volte il ciclo.

moltip2.jpg (53661 bytes)
Come vedi ad ogni ciclo il valore di Z salta da un punto all'altro del piano complesso, in modo molto caotico.
Il numero complesso del nostro esempio, già alla prima reiterazione diventa 1 +3i, vale a dire ha una dimensione di 3,16227766 dato che supera la dimensione di 2 non appartiene all'insieme di Mandelbrot, e dato che i colori sono abbinati al numero dei cicli impiegati a superare la dimensione di due, verrebbe perciò colorato, con il colore abbinato al ciclo numero 1.
La dimensione è la radice quadrata del numero che si ottiene sommando il quadrato della parte reale e immagginaria del numero complesso. perciò (1 * 1)+(3*3)= 10.
Radice quadrata di 10 = 3,16227766

La genialità di Mandelbrot è stata quella di scoprire che se durante la ripetizione di questa formula, la dimensione di Z non riusciva ad allontanarsi di molto dallo zero centrale, rimaneva cioè inferiore a due, anche dopo molte iterazioni, Z era prigioniero di un attrattore strano che non l'avrebbe mai lasciato fuggire, questi numeri, vennero chiamati in seguito, numeri che appartenevano all'insieme di Mandelbrot.
Poi Mandelbrot con l'aiuto di un computer provò a colorare di nero i pixel associati a quei numeri che non riuscivano a superare la dimensione di due e a colorare di bianco quelli che invece ci riuscivano:
Penso che la prima volta che vide il risultato, ne rimase sbalordito.

Poi con i monitor a colori provò a colorare i pixel che prima erano bianchi, li colorò in base alla velocità con cui riuscivano a superare il valore di due, vale a dire quante volte era necessario ripetere il ciclo per superare il volore di due.

Ad esempio se si era ripetuto il ciclo 20 volte, il pixel veniva colorato di rosso, se era stato necessario ripeterlo 22 volte si colorava di viola, se veniva ripetuto 28 volte il colore era blù etc. Naturalmente ne risultò una cosa meravigliosa che possiamo apprezzare anche noi oggi che disponiamo di computer più veloci e potenti.

Ora dobbiamo stabilire quante volte si deve ripetere il ciclo per sapere se riuscirà a superare il valore di 2, normalmente con pochi ingrandimenti bastano meno di 100 cicli per esserne sicuri, perchè la distanza dei numeri complessi associati ai pixel essendo alta, favorisce grandi salti tra un punto e l'altro del piano, e in pochi cicli si dovrebbe superare il valore di 2, se non lo si supera entro 100 cicli, vuol dire che il numero in esame non appartiene all'insieme di Mandelbrot, viene perciò acceso un pixel di colore nero, e si interrompe il ciclo, per passare poi ad esaminare un altro numero.
Quando però l'ingrandimento è elevato la distanza tra i numeri complessi diventa minima, in questi casi per stabilire se un numero appartiene all'insieme di M. (non supera cioè il valore di 2) sono necessari anche 10.000 cicli, perchè la distanza tra due punti sul piano è talmente piccola da rendere difficile stabilire se un numero appartiene all'insieme di Mandelbrot.
Così può capitare che un punto, del piano, dopo 2000 cicli, sembra non riuscire a superare la fatidica dimensione di 2 e si dovrebbe perciò colorare di nero, invece se lo si lascia girare ancora qualche ciclo, improvvisamente ce la fa, e il pixel associato a quel numero va colorato.
Dunque per stabilire quante volte bisogna ripetere l'algoritmo per determinare se un pixel deve essere colorato, dipende oltre che dal numero complesso che gli è associato, anche dall'ingrandimento che si vuole ottenere, in pratica si prova ad eseguire un disegno con un determinato numero di cicli, ad esempio 200, poi si riprova aumentando i cicli a 300, per vedere se nel disegno successivo compaiono più dettagli, si ripete così finchè i pixel colorati non aumentano più.

Abbiamo già visto a pag.3 come ingrandire l'immagine, ma c'è un altro modo per ingrandire l'immagine

Come con un microscopio, con l'aumentare dell'ingrandimento, si restringe il campo visivo, così noi restringendo il piano complesso aumentiamo l'ingrandimento e poichè i numeri complessi sono infiniti perchè fanno parte dei numeri reali, in teoria possiamo ottenere un numero d'ingrandimenti infinito, in pratica siamo limitati dalla capacità di calcolo del nostro elaboratore.
Nel programma che potete scaricare da questo sito, la capacità d'ingrandimenti è limitata a 5 miliardi.

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Ora che sapete quasi tutto sull'insieme di Mandelbrot cliccate in fondo alla pagina per scoprire anche:
L'INSIEME DI JULIA
Un parente stretto dell'insieme di Mandelbrot, con il quale si relizzano immagini altrettanto spettacolari, ma con caratteristiche diverse.

Oppure se sapete programmare date un'occhiata al listato in V.BASIC,
(è a pag.13 -Listato in V.BASIC di Mandelbrot e Jiulia)
è molto breve ed è corredato da spiegazioni su tutti i passaggi, in modo da essere compreso anche da chi non conosce il basic.

Se non sapete programmare, vi consiglio d'imparare. Scrivere un buon programma per computer è secondo me una forma d'arte, come può esserlo scrivere poesie, dipingere, suonare uno strumento, perchè tutto ciò che dà emozione è arte, e riuscire a scrivere un buon algoritmo dà emozioni.

Ecco perchè ti consiglio di apprendere un liguaggio di programmazione, ce ne sono di tutti i livelli, dal più facile, il basic, con tutti i suoi dialetti, qbqsic, ibasic etc. ai più tosti fortran, pascal c, c++ etc.

Può essere faticoso imparare bene una nuova materia, ma se programmi per diletto personale, basta conoscere poche istruzioni e alcune regole del linguaggio scelto, per poter scrivere piccoli programmi divertenti e graficamente interessanti, se guardi il listato, potrai vedere che è fatto con poche e semplci istruzioni.

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Qui sotto, partendo da sinistra gli ingrandimenti salgono a   75.000.000  e750.000.000   di volte.
L'immagine di destra ha gli stessi ingrandimenti di quella centrale, solo che è molto più nitida delle altre, perchè tutte le immagini precedenti sono state compresse per una più veloce visualizzazione, utilizzando il mio programma avrai immagini più nitide e di maggiore dimensione.


mande75.000.000 mande750.000.000 mande750.000.000
;
Nella prossima pagina vedremo come elevare Z fino alla 26° potenza,
vale a dire invece di usare (Z^2 + c) per ottenere l'insieme di M.   potremo usare Z^3,   z^4,  z^5,  fino a z^26   
tutto questo, aggiungendo poche righe di programma, al listato che potete trovare cliccando sulla pagina 13

vai alla pag. 7 per scoprire come elevare un numero complesso fino alla 26ª potenza con poche righe di programma in più.





MENU DEGLI APPLET.

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CLICCA QUI PER INTERAGIRE CON UN APPLET SULL'INSIEME DI MANDELBROT.


- L'insieme di Julia -pag.1



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